Question

【题目】过抛物线）的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且．

（1）求p的值；

（2）抛物线C上一点，直线（其中）与抛物线C交于A，B两个不同的点（A，B均与点Q不重合）．设直线QA，QB的斜率分别为.

（i）直线l是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由；

（ii）设点T在直线l上，且满足，其中为坐标原点．当线段最长时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）（i）直线恒过定点；

（i i）T与H重合时线段最长，此时直线方程为.

【解析】

（1）根据题意设出直线，联立直线与抛物线根据即可求出

（2）（i）点联立直线与抛物线C，即可得到，.又,代入直线，即可得出直线恒过定点，

（i i）设动点，由得动点在，即与重合时线段最长，及可求出直线方程为。

（1）抛物线的焦点为，设直线MN方程为

联立抛物线方程可得

故：，

，解得

（2）（i）由（1）知抛物线C方程为，从而点，设，

，

，，.

由

可得，即，从而该式满足式

即直线恒过定点

（i i）设动点，，

∴动点在，故与重合时线段最长，

此时直线，即：.