Question

已知数列{a_n}中，a₁=-1，且 （n+1）a_n，（n+2）a_n+1，n 成等差数列．
（Ⅰ）设b_n=（n+1）a_n-n+2，求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）（仅理科做） 若a_n-b_n≤kn对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：，…1分
∵b₁=2a₁-1+2=-1，…2分（文3分），
∴数列{b_n}是等比数列． …4分（文6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即．
∴． …6分（文13分）
（Ⅲ）∵，
∴a_n-b_n≤kn，即．
设，，，
则c_n 随着n的增大而减小，…8分
∵=，
∴n≥5时，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n随着n的增大而减小，…10分
则n≥5时，e_n随着n的增大而减小． …
∵c₁=，c₂=，c₃=，c₄=，c₅=，
d₁=，d₂=0，d₃=，d₄=，d₅=，
∴e₁=0，e₂=，e₃=，e₄=，e₅=．
则e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…．∴e₂=最大．
∴实数k的取值范围k≥． …13分．
分析：（Ⅰ），由b₁=2a₁-1+2=-1，知，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由，知．由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由，知．设，，，则c_n 随着n的增大而减小，=，所以n≥5时，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n随着n的增大而减小，n≥5时，e_n随着n的增大而减小． 由此能求出实数k的取值范围．
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．