Question

【题目】直线l过曲线C：yx2的焦点F，并与曲线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．

（1）求证：x1x2＝﹣16；

（2）曲线C分别在点A，B处的切线（与C只有一个公共点，且C在其一侧的直线）交于点M，求点M的轨迹．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）直线

【解析】

（1）求得抛物线的焦点，设出直线的方程，联立抛物线方程，消去，得到的二次方程，运用韦达定理，即可得证；

（2）求得的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线，的方程，注意，的坐标满足抛物线方程，联立切线方程，解得的坐标，即可得到所求轨迹．

（1）证明：曲线的焦点为，

由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，

由，消可得，

，，，，

；

（2）由（1）可得，，

由，可得，

切线方程分别为，，

且，，可得，

解得，，

则的轨迹为直线．