Question

【题目】已知椭圆的离心率为,点在椭圆上．直线过点，且与椭圆 交于，两点，线段的中点为．

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点为坐标原点，延长线段与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（I）根据已知得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（Ⅱ）先讨论当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意.再讨论直线与轴不垂直，设直线，先计算出，，再根据求出此时直线的方程.

解：（I）由题意得,解得.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）四边形能为平行四边形．

（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为 满足题意

（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然.

设，，．

将代入得，

故，

．于是直线的斜率，即．

由直线，过点，得，因此．

的方程为．设点的横坐标为．

由得，即．

四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．

于是．由，得满足

所以直线的方程为时，四边形为平行四边形．

综上所述：直线的方程为或 .