Question

对实数a与b，定义新运算“?”：a?b=

a，a-b≤1 b，a-b＞1

．设函数f（x）=（x²-2）?（x-x²），x∈R．若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（　　）

• A、(-∞，-2]∪(-1，

  3

  2

  )
• B、(-∞，-2]∪(-1，-

  3

  4

  )
• C、(-∞，

  1

  4

  )∪(

  1

  4

  ，+∞)
• D、(-1，-

  3

  4

  )∪[

  1

  4

  ，+∞)

Answer 1

分析：根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x²-2）?（x-x²）的解析式，并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．

解答：解：∵a?b=

a，a-b≤1 b，a-b＞1.

，
∴函数f（x）=（x²-2）?（x-x²）=

x2-2，-1≤x≤ 3 2 x-x2，x＜-1或x＞ 3 2

，
由图可知，当c∈(-∞，-2]∪(-1，-

3

4

)
函数f（x） 与y=c的图象有两个公共点，
∴c的取值范围是 (-∞，-2]∪(-1，-

3

4

)，
故选B．

点评：本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．