Question

四棱锥ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC+BD=3，

AC

•

BD

=1，则EG²+FH²=

7

2

．

Answer 1

分析：根据EFGH是平行四边形，而平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和，故有EG2+FH2=2(

HG

2+

EH

2)=[(

1

2

AC

)2+(

1

2

BD

)2]=

1

2

[(

AC

+

BD

)2-2

AC

•

BD

]，运算求得结果．

解答：解：易知四边形EFGH是平行四边形，而平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和，
∴EG2+FH2=2(

HG

2+

EH

2)=2[(

1

2

AC

)2+(

1

2

BD

)2]=

1

2

(AC2+BD2)
=

1

2

[

AC

2+

BD

2]=

1

2

[(

AC

+

BD

)2-2

AC

•

BD

]=

1

2

(32-2×1)=

7

2

，
故答案为

7

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，属于中档题．