Question

已知椭圆E：的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设A（x，y）B（-x，y）F（c，0）（c²=a²+b），由椭圆定义及可求a，而
可求b，进而可求椭圆方程
（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m，由L与圆相切，可得
L的方程为y=kx+m代入中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），
Q（x₂，y₂），，要证，只要证明即可
解答：解：（Ⅰ）设A（x，y）B（-x，y）F（c，0）（c²=a²+b）
则-----------------------------------------（1分）
∵0≤x²≤a²∴|AB|_min=2b=2∴b=1所以有椭圆E的方程为-----------------（5分）
（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m
L与圆相切，
∴
∴-----------------（7分）
L的方程为y=kx+m代入中得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8（2k²+1-m²）＞0令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
①
②
③--------------------（10分）
∴------------------------------------------------------（12分）
点评：本题主要考查了由椭圆的性质、定义求解椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系的应用，解题中要求考试具备一定的逻辑推理、计算的能力．