Question

已知椭圆E：的右焦点恰好是抛物线C：y²=4x的焦点F，点A是椭圆E的右顶点，过点A的直线l交抛物线C于M，N两点，满足OM⊥ON，其中O是坐标原点，
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)过椭圆E的左顶点B作y轴平行线BQ，过点N作x轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点O。若△QMN是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)F(1，0)，∴a²-b²=1，A（a，0），
设直线l：x=a+my代入y²=4x中， 整理得y²-4my-4a=0，
设，则，
又∵，
∴，
由OM⊥ON得，
解得：a=4或a=0（舍），得，
所以椭圆E的方程为。
(Ⅱ)椭圆E的左顶点B（-4，0），所以点Q（-4，y²），易证M，O，Q三点共线，
①当QM为等腰△OMN的底边时，由于ON⊥OM，
∴O是线段MQ的中点，
∴，
所以m=0，即直线MN的方程为x=4；
②当QN为等腰△QMN的底边时，，
又∵，
解得，或，
∴，
所以直线MN的方程为，即；
综上所述，当△OMN为等腰三角形时，直线MN的方程为x=4或。