Question

【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线交于两点，且直线恰好通过椭圆的右焦点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过的直线和椭圆交于两点,交抛物线于两点， 是抛物线的焦点，是否存在直线，使得,若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在直线： 或者满足条件.

【解析】【试题分析】（1）先借助题设条件求出交点坐标,再代入椭圆方程与离心率联立方程组求解；（2）先建立直线为，再与椭圆方程联立方程组，借助题设条件求得，运用弦长公式求出弦长建立方程，进而求出直线的斜率：

解：（1）由知，可设，其中

由已知，代入椭圆中得： 即，解得

从而，故椭圆方程为

（2）易知，直线的斜率存在。设直线为， ， ， ， 。由条件知。，故。

由，

。存在直线： 或者满足条件。