题目内容
在△ABC中，cosA=4
| ||
| 17 |
| 3 |
| 5 |
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC最大边的边长为
| 17 |
分析：（1）由cosA的值和角A的范围，求出sinA的值，进而求出tanA的值，再由tanB的值，利用C=π-（A+B），根据诱导公式及两角和的正切函数公式化简后，将tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由角C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角C的度数；
（2）根据（1）求出的角C的度数为钝角，由大边对大角得到AB边最大，然后根据tanA和tanB值的大小根据正切函数为单调增函数判断得到角A最小，进而得到BC为最短边，由sinA，AB及sinC的值，利用正弦定理即可求出BC的长．
（2）根据（1）求出的角C的度数为钝角，由大边对大角得到AB边最大，然后根据tanA和tanB值的大小根据正切函数为单调增函数判断得到角A最小，进而得到BC为最短边，由sinA，AB及sinC的值，利用正弦定理即可求出BC的长．
解答：解：（1）∵cosA=
，∴sinA=
，
则tanA=
，又tanB=
，
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）
=-
=-
=-1，
又∵0＜C＜π，∴C=
；
（2）∵C=
，∴AB边最大，即AB=
．又tanA＜tanB，且A，B∈（0，
），
∴角A最小，BC边为最小边．
∵sinA=
，AB=
，sinC=sin
=
，
由
=
得：BC=AB•
=
，
所以最小边BC=
．
4
| ||
| 17 |
| ||
| 17 |
则tanA=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
∴tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）
=-
| tanA+tanB |
| 1-tanAtanB |
| ||||
1-
|
又∵0＜C＜π，∴C=
| 3π |
| 4 |
（2）∵C=
| 3π |
| 4 |
| 17 |
| π |
| 2 |
∴角A最小，BC边为最小边．
∵sinA=
| ||
| 17 |
| 17 |
| 3π |
| 4 |
| ||
| 2 |
由
| AB |
| sinC |
| BC |
| sinA |
| sinA |
| sinC |
| 2 |
所以最小边BC=
| 2 |
点评：此题综合考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式及两角和的正切函数公式，以及正弦定理．根据大角对大边，小角对小边判断出AB边最大，BC边最小是解本题第二问的关键．
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