Question

已知双曲线C：和圆O：x²+y²=b²（其中原点O为圆心），过双曲线C上一点P（x，y）引圆O的两条切线，切点分别为A、B．
（1）若双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求双曲线离心率e的取值范围；
（2）求直线AB的方程；
（3）求三角形OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a＞b＞0，知．由∠APB=90°及圆的性质，知四边形PAOB是正方形，所以．由此能求出双曲线离心率e的取值范围．
（2）方法1：因为PA²=OP²-OA²=x²+y²-b²，所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为（x-x）²+（y-y）²=x²+y²-b²．联立方程组，得直线AB的方程．
方法2：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），已知点P（x，y），则k_PA=，（其中x₁≠x，x₁≠0）．因为PA⊥OA，所以k_PAk_OA=-1，即．因为OA=OB，PA=PB，根据平面几何知识可知，AB⊥OP．因为，所以．由此能求出直线AB的方程．
方法3：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），已知点P（x，y），则k_PA=，．因为PA⊥OA，所以．由此能求出直线AB的方程．
（3）由直线AB的方程为xx+yy=b²，知点O到直线AB的距离为．由，知△OAB的面积．以下给出求三角形OAB的面积S的三种方法：
方法1：因为点P（x，y）在双曲线上，所以．设，所以．再由导数能够求出．
方法2：设，则．因为点P（x，y）在双曲线上，所以．令，再由导数能够求出．
方法3：设t=x²+y²，则．因为点P（x，y）在双曲线上，所以．令，所以g（u）在上单调递增，在上单调递减．由此能够求出．
解答：解：（1）因为a＞b＞0，所以，所以．（1分）
由∠APB=90°及圆的性质，可知四边形PAOB是正方形，所以．
因为，所以，所以．（3分）
故双曲线离心率e的取值范围为．（4分）
（2）方法1：因为PA²=OP²-OA²=x²+y²-b²，
所以以点P为圆心，|PA|为半径的圆P的方程为（x-x）²+（y-y）²=x²+y²-b²．（5分）
因为圆O与圆P两圆的公共弦所在的直线即为直线AB，（6分）
所以联立方程组（7分）
消去x²，y²，即得直线AB的方程为xx+yy=b²．（8分）
方法2：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），已知点P（x，y），
则k_PA=，（其中x₁≠x，x₁≠0）．
因为PA⊥OA，所以k_PAk_OA=-1，即．（5分）
整理得xx₁+yy₁=x₁²+y₁²．
因为x₁²+y₁²=b²，所以xx₁+yy₁=b²．（6分）
因为OA=OB，PA=PB，根据平面几何知识可知，AB⊥OP．
因为，所以．（7分）
所以直线AB方程为．
即xx+yy=xx₁+yy₁．
所以直线AB的方程为xx+yy=b²．（8分）
方法3：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），已知点P（x，y），
则k_PA=，（其中x₁≠x，x₁≠0）．
因为PA⊥OA，所以k_PAk_OA=-1，即．
整理得xx₁+yy₁=x₁²+y₁²．
因为x₁²+y₁²=b²，所以xx₁+yy₁=b²．（6分）
这说明点A在直线xx+yy=b²上．（7分）
同理点B也在直线xx+yy=b²上．
所以xx+yy=b²就是直线AB的方程．（8分）
（3）由（2）知，直线AB的方程为xx+yy=b²，
所以点O到直线AB的距离为．
因为，
所以三角形OAB的面积．（10分）
以下给出求三角形OAB的面积S的三种方法：
方法1：因为点P（x，y）在双曲线上，
所以，即（x²≥a²）．
设，
所以．（11分）
因为，
所以当0＜t＜b时，S'＞0，当t＞b时，S'＜0．
所以在（0，b）上单调递增，在（b，+∞）上单调递减．（12分）
当，即时，，（13分）
当，即时，．
综上可知，当时，；当时，．（14分）
方法2：设，则．（11分）
因为点P（x，y）在双曲线上，即，即（x²≥a²）．
所以．
令，则．
所以当0＜t＜b时，g'（t）＜0，当t＞b时，g'（t）＞0．
所以在（0，b）上单调递减，在（b，+∞）上单调递增．（12分）
当，即时，，（13分）
当，即时，．
综上可知，当时，；当时，．（14分）
方法3：设t=x²+y²，则．（11分）
因为点P（x，y）在双曲线上，即，即（x²≥a²）．
所以．
令，
所以g（u）在上单调递增，在上单调递减．（12分）
因为t≥a，所以，
当，即时，，此时．
（13分）
当，即时，，此时．
综上可知，当时，；当时，．（14分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意导数的合理的运用，结合圆锥曲线的性质恰当地进行等价转化．