Question

已知双曲线C：和圆O：x²＋y²＝b²(其中原点O为圆心)，过双曲线C上一点P(x₀，y₀)引圆O的两条切线，切点分别为A、B．

(1)若双曲线C上存在点P，使得∠APB＝90°，求双曲线离心率e的取值范围；

(2)求直线AB的方程；

(3)求三角形OAB面积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为，所以，所以．　1分 　　由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以． 　　因为，所以，所以．　3分 　　故双曲线离心率的取值范围为．　4分 　　(2)方法1：因为， 　　所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．　5分 　　因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，　6分 　　所以联立方程组　7分 　　消去，，即得直线的方程为．　8分 　　方法2：设，已知点， 　　则，． 　　因为，所以，即．　5分 　　整理得． 　　因为，所以．　6分 因为，，根据平面几何知识可知，． 　　因为，所以．　7分 　　所以直线方程为． 　　即． 　　所以直线的方程为．　8分 　　方法3：设，已知点， 　　则，． 　　因为，所以，即．　5分 　　整理得． 　　因为，所以．　6分 　　这说明点在直线上．　7分 　　同理点也在直线上． 　　所以就是直线的方程．　8分 　　(3)由(2)知，直线的方程为， 　　所以点到直线的距离为． 　　因为， 　　所以三角形的面积．　10分 　　以下给出求三角形的面积的三种方法： 　　方法1：因为点在双曲线上， 　　所以，即． 　　设， 　　所以．　11分 　　因为， 　　所以当时，，当时，． 　　所以在上单调递增，在上单调递减．　12分 　　当，即时，，　13分 　　当，即时，． 　　综上可知，当时，；当时，．　14分 　　方法2：设，则．　11分 　　因为点在双曲线上，即，即． 　　所以． 　　令，则． 　　所以当时，，当时，． 　　所以在上单调递减，在上单调递增．　12分 　　当，即时，，　13分 　　当，即时，． 　　综上可知，当时，；当时，．　14分 　　方法3：设，则．　11分 　　因为点在双曲线上，即，即． 　　所以． 　　令， 　　所以在上单调递增，在上单调递减．　12分 　　因为，所以， 　　当，即时，，此时．　13分 　　当，即时，，此时． 　　综上可知，当时，；当时，．　14分