Question

已知数列{a_n}满足，首项为；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：；
（3）设数列{c_n}满足，其中k为一个给定的正整数，
求证：当n≤k时，恒有c_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）将题中已知条件化简便可求出与的关系，进而求得a_n的通项公式；
（2）由（1）中求得的a_n的通项公式便可求出b_n的通项公式，进而写出前n项和T_n的表达式，即可证明；
（3）根据题中已知条件可知c_n为递增数列，然后证明ck＜1即可证明：当n≤k时，恒有c_n＜1．
解答：解：（1）由已知可得：，
即（n≥2），
由累加法可求得：，
即，
又n=1也成立，
∴（4分）；
（2），
先证
由，
此式显然成立，
∴（6分）
又b_n=，
∴=
即．
（3）由题意知：，
∴{C_n}为递增数列
∴只需证：C_k＜1即可
若k=1，则显然成立；
若k≥2，则，即，
因此，
∴
∴故n≤k时，恒有C_n＜1（14分）
点评：本题主要考查了数列的递推公式以及数列与不等式的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．