Question

【题目】设数列的前项和，对任意，都有（为常数）．

（1）当时，求；

（2）当时，

（ⅰ）求证：数列是等差数列；

（ⅱ）若对任意，必存在使得，已知，且，

求数列的通项公式．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)（ⅰ）见解析;(2).

【解析】试题分析：（1）当时，．，再写一式，两式相减，可得数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求Sn；

（2）①当时，，再写一式，两式相减，可得数列{an}是等差数列，从而可求数列{an}的通项公式;

②因为，所以．因为，所以, 因为，所以．又因为，即可得到的值，进而求出通项.

试题解析：

（1）当时，．①

当时，，所以．

当时，．②

①②得：．因为，所以，所以，

所以是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以．

（2）（ⅰ）当时，．③

当时，．④

③－④得：，⑤

所以．⑥

⑤－⑥得：．

因为，所以 即，

所以是等差数列．

（ⅱ）因为，所以．

因为，所以，所以．

因为，所以．又因为，

所以，所以或．

当时，，，，

所以 不符合题意．

当时，，，

所以满足题意．

所以．