Question

（本小题满分12分）

如图，在长方体中，，为的中点，为的中点。

   （1）证明：；

   （2）求与平面所成角的正弦值。

                                             

Answer 1

  , 

解析:

方法一：（1）根据已知在长方体，

在中， ，（3分）

同理可求，，（理3分，文4分）

∴，∴，即。（6分）

   （2）设点到平面的距离为，连结，则 ，

∴，（8分）

而，在中， ，（10分）

，所以，∴，

即点到平面的距离为，

故与平面所成角的正弦值为．（12分）

方法2：（1）以点为原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，（2分）

依题意，可得 。（4分）

∴，

，

∴ ，

即，∴。（6分）

   （2）设，且平面，则

  ， 即，

∴解得，

取，得，所以与平面所成角的正弦值为

   。（12分）