Question

(1)平面内有10个点，其中任意3点都不在一条直线上，过这10个点的任意两点可连成多少条直线？以这10个点中的任意3点为顶点可作出多少个三角形？

(2)平面内的10个点中有3个点在一条直线上，其余任意3点都不在一条直线上，又可连成多少条直线，作出多少个三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)由于平面内两点可以确定一条直线，且所得直线与两点顺序无关，当平面内10个点中任意3点不共线时，我们从中任取两点就可确定一条直线，故可连成=45条直线． 当平面内10个点中任意3点不共线时，从中任取3点，就可作出一个三角形，共有=120个三角形． (2)因为这10个点中有3点共线，我们将这10个点分为两类：第一类是共线的3点，第二类是无3点共线的7个点．从第二类的7个点中任取两点可连成条直线，从第二类中任取一点与第一类中任选一点又可以连成条直线；又第一类的3个点连成一条直线．于是，这样的10个点可连成＋＋1=43条直线． 利用同样的方法考虑三角形问题，从第二类中任取3个点为顶点，可作出个三角形；从第二类中任取两点与第一类中任取一点为顶点，可作出个三角形；从第二类中任取一点与第一类中任取两点为顶点，可作出个三角形．于是过这样的10个点中每3点可作出＋＋=35＋63＋21=119个三角形． 解决这个问题也可用排除法．将平面内10个点中的每两点连线，最多可连条直线，但其中有3点共线，而这3个点可连条直线，显然这条直线不全存在，仅有一条，故10个这样的点可连－＋1=45－3＋1=43条直线． 对于平面内的10个点，以每3点为顶点，最多可作出个三角形，但其中共线的3点可作的个三角形不存在，故这样的 10个点可作出－=120－1=119个三角形．