Question

成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b_n}中的b₃、b₄、b₅.

(1)求数列{b_n}的通项公式；

(2)数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：数列{S_n＋}是等比数列.

Answer 1

(1)设等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.

依题意得，a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.

所以{b_n}中的b₃，b₄，b₅依次为7－d,10,18＋d.

依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，

解得d＝2或d＝－13(舍去).

故{b_n}的第3项为5，公比为2.

由b₃＝b₁·2²，即5＝b₁·2²，解得b₁＝.

所以{b_n}是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为：b_n＝×2^n－1＝5×2^n－3.

(2)数列{b_n}的前n项和S_n＝

＝5×2^n－2－，即S_n＋＝5×2^n－2，

所以S₁＋＝，＝＝2.

因此数列{S_n＋}是以为首项，公比为2的等比数列.