Question

已知顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线过点(3，

6

)．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线与直线y=x-2交于A、B两点，求证：k_OA•k_OB=-4．

Answer 1

分析：（1）设出抛物线标准方程，代入点的坐标，可求抛物线的方程；
（2）将直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，结合斜率公式，可得结论．

解答：（1）解：设抛物线的标准方程为y²=2px（p＞0），则
∵抛物线过点(3，

6

)，∴6=2p×3，∴p=1，
∴抛物线的标准方程为y²=2x；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线y=x-2代入y²=2x，整理可得x²-6x+4=0
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

(x1-2)(x2-2)

x1x2

=

x1x2-4(x1+x2)+4

4

=-4．

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．