Question

已知圆x²+y²-9x=0与顶点在原点O，焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，△AOB的垂心恰为抛物线的焦点，求抛物线C的方程．

Answer 1

分析：先设A点坐标为（x₁，y₁）则可得B点坐标，设抛物线方程为y²=2px，根据F为△AOB的垂心可得AF⊥OB，可得x₁和y₁关系式，又根据A在圆上和抛物线上，分别可得x₁和y₁的另两个方程，最后联立消去x₁和y₁即可求的p，进而抛物线方程可得．

解答：解：设A点坐标为（x₁，y₁）则B点坐标为（x₁，-y₁），设抛物线方程为y²=2px，则焦点F（

p

2

，0）
∵F为△AOB的垂心AF⊥OB，
∴（

p

2

-x₁）x₁+y₁²=0①
∵A在圆上，∴x²₁+y²₁-9x₁=0②
∵A在抛物线上，∴y²₁=2px₁，③
①②③联立方程消去x₁，y₁，求得p=2
故抛物线方程为y²=4x，

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线与其他圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．