Question

不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

与x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0的解集分别为A，B，其中a∈R．，求使A⊆（A∩B）的a 的取值范围．

Answer 1

分析：解一元二次不等式求出集合A，解一元二次不等式，分2＜3a+1、2＞3a+1、2=3a+1三种情况分别求出集合B，由A⊆B，考查两个区间的端点间的大小关系，求出a的取值范围．

解答：解：∵不等式|x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

，∴-

(a-1)2

2

≤x-

(a+1)2

2

≤

(a-1)2

2

，
即  2a≤x≤a²+1，∴A=[2a，a²+1]．  （5分）
由 x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0  得  （x-2）[x-（3a+1）]≤0．
令（x-2）[x-（3a+1）]=0  得  x₁=2，x₂=3a+1．
当2＜3a+1，即a＞

1

3

 时，B={x|2≤x≤3a+1}，
当2＞3a+1，即x＜

1

3

时，B={x|3a+1≤x≤2}，
当2=3a+1，即a=

1

3

时，B={2}．（10分）
要使A⊆B，当A=∅时，a²+1＜2a，此时 （a-1）²＜0，不可能出现此种情况．所以A≠∅，
当a＞

1

3

时，2a≥2且a²+1≤3a+1，所以1≤a≤3．
当 a＜

1

3

时，2a≥3a+1且a²+1≤2，所以a=-1．
当 a=

1

3

时，2a=2且a²+1=2，所以a∈∅．
综上所述：a的取值范围是{a|1≤a≤3或a=-1}．（20分）

点评：本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，属于中档题．