Question

如图，已知四边形ABCD和ABEF均为矩形，BC=BE=1，AB=2，点M为线段EF的中点，BM⊥AD．
（Ⅰ）求证：BM⊥DM；
（Ⅱ）求点F到平面DAM的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明BM⊥平面ADM即可；
（Ⅱ）证明AD⊥平面ABM，可得AD⊥AM，利用等体积，即可求点F到平面DAM的距离．

解答：（Ⅰ）证明：在矩形ABEF中，BE=1，AB=2，点M为线段EF的中点，∴BM⊥AM，
∵BM⊥AD，BM⊥AM，AM∩AD=A，
∴BM⊥平面ADM，
∵DM?平面ADM，
∴BM⊥DM；
（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
∵AB⊥AD，BM⊥AD，AB∩BM=B，
∴AD⊥平面ABM，
∴AD⊥AM，
设点F到平面DAM的距离为h，则

1

3

•

1

2

•1•1•1=

1

3

•

1

2

•

2

•1•h，
∴h=

2

2

．

点评：本题考查线面垂直的判定，考查点到平面的距离，考查三棱锥体积公式的运用，属于中档题．