Question

【题目】已知函数.

（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（2）证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】分析：分析题意，该题可借助于利用导数求函数的单调性和最值的方法进行解答，对于

（1），首先将式子进行转化，构造新函数，借助于导数来完成即可；对于（2）利用导数求函数的最值，不难得到函数的最小值为，则，再利用导数求出其值域即可.

详解：（1）因为对恒成立，

等价于对恒成立，

设

得，

故在上单调递增，

当时，由上知，

所以，

即.

所以实数的取值范围为；

（2）对求导得

记

由（1）知在区间内单调递增，

又，

所以存在唯一正实数，

使得，

∴当时，，函数在区间单调递减；

时，，函数在区间单调递增；

所以在内有最小值，

有题设即，

又因为，

所以

根据（1）知，在内单调递增，，

所以，

令，

则，

函数在区间内单调递增，

所以，

即函数的值域为.