Question

设数列{a_n}是等差数列，a₅=6，a₃=2时，若自然数k₁，k₂，…，k_n…（n∈N^*）满足5＜k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，使得a₃，a₅，，…，…成等比数列，

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）求数列{k_n}的通项公式及其前n项的和．

Answer 1

考点：

数列的求和；等差数列；等差数列的通项公式．

专题：

计算题；等差数列与等比数列．

分析：

（1）根据等差数列{a_n}的第3项和第5项求出公差d=2，再求出a₁=﹣2，结合等差数列的通项公式即可求出a_n的表达式；

（2）由等比数列的通项公式，算出题中等比数列的公比q=3，从而得到第n项，根据同时是{a_n}的第k_n项建立相等关系，即可得到，最后结合等比数列的求和公式即可得到数列{k_n}的其前n项的和．

解答：

解：（1）∵等差数列{a_n}中，a₅=6，a₃=2

∴{a_n}的公差，可得a₁=a₃﹣2d=﹣2

因此，{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n﹣3）×2=2n﹣4

（2）∵2，6，成等比数列，

∴该数列的公比q==3，可得，

又∵是等差数列{a_n}中的第k_n项，∴，

因此，2•3ⁿ⁺¹=2k_n﹣4，解之得，

∴k₁+k₂+…k_n=（3²+2）+（3³+2）+（3⁴+2）+…+（3ⁿ⁺¹+2）

=（3²+3³+…3ⁿ⁺¹）+2n=．

即数列{k_n}的通项公式为：，其前n项的和为．

点评：

本题给出等差数列的第3项、第5项是等比数列的前2项，求等比数列与等差数列的公共项按原来的顺序构成数列的通项公式．着重着重考查了等差、等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式等知识，属于中档题．