Question

若f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)eax，x＜0

（a≠1），在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）

A．(1， 2 ]

B．[- 2 ，-1)∪[ 2 ，+∞)

C．(-∞，- 2 ]∪(1， 2 ]

D．(0， 2 3 )∪[ 2 ，+∞)

Answer 1

f（x）在定义域（-∞，+∞）上是单调函数时，
①函数的单调性是增函数时，可得当x=0时，（a²-1）e^ax≤ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得-

2

≤a≤

2

∵x≥0时，y=ax²+1是增函数，∴a＞0
又∵x＜0时，（a²-1）e^ax是增函数，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：1＜a＜

2

②函数的单调性是减函数时，可得当x=0时，（a²-1）e^ax≥ax²+1=1，
即a²-1≤1，解之得a≤-

2

或a≥

2

．
∵x≥0时，y=ax²+1是减函数，∴a＜0
又∵x＜0时，（a²-1）e^ax是增函数，∴a²-1＞0，得a＜-1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：a＜-

2

综上所述，得a∈(-∞，-

2

]∪(1，

2

]
故选：C