Question

已知：向量

m

=(sinx，cosx)，

n

=(

3

cosx，cosx)．设f(x)=

m

•

n

．
①求f（x）的最小正周期．
②求f（x）的最大值以及对应的x的取值集合．

Answer 1

分析：①利用向量坐标运算将f（x）化为f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

即可求得其周期；
②有正弦函数的性质可得f（x）的最大值以及对应的x的取值集合．

解答：解：①∵

m

=(sinx，cosx)，

n

=(

3

cosx，cosx)，f（x）=

m

•

n

，
∴f（x）=

3

sinxcosx+cos²x （1分）
=

3

2

sin2x+

1

2

(1+cos2x) （3分）
=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，（5分）
∴T=

2π

2

=π． （7分 ）
②当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z，f（x）取到最大值，
∴f(x)max=

3

2

（9分 ）
此时x的取值集合为：{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．（12分）

点评：本题考查三角函数的最值，着重考查向量的坐标运算，考查正弦函数的二倍角公式与辅助角公式，将f（x）化为f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

是关键，属于中档题．