Question

【题目】如图，在棱柱中，底面为平行四边形， ，，且在底面上的投影恰为的中点.

（1）过作与垂直的平面，交棱于点，试确定点的位置，并说明理由；

（2）若点满足，试求的值，使二面角为.

Answer 1

【答案】（1）点为棱的中点，理由见解析（2）

【解析】

（1）根据题意，取中点为，只需即可，结合已知，即可容易说明；

（2）以为原点，建立空间直角坐标系，用向量法求解二面角大小，从而求得的方程，解方程即可求得结果.

（1）当点为棱的中点时，符合题目要求，

下面给出证明.

分别连结，.

在中，

所以，因此，即，

因为在底面上的投影恰为的中点，

所以平面，

又平面，所以，

又，，平面，

所以平面，

因此，点即为所求，平面即为

（2）证明：由题（1）知可得，，，

所以

分别以为轴的正方向，以过点垂直于平面的方向为轴，

建立空间直角坐标系， ，，，

，，，，

所以

易得平面的一个法向量为

，

设为平面的一个法向量，则：

，即得，

令，得，

因为二面角为，

所以，即，

所以，

又因为二面角的大小为钝角，故