Question

【题目】已知中心在原点O，左右焦点分别为，的椭圆的离心率为，焦距为，A，B是椭圆上两点.

（1）若直线与以原点为圆心的圆相切，且，求此圆的方程；

（2）动点P满足：，直线与的斜率的乘积为，求动点P的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）

【解析】

（1）根据椭圆的离心率为，焦距为，建立方程组，求出几何量，可得椭圆的方程，分类讨论，设直线为：，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得，根据直线与以原点为圆心的圆相切，即可求此圆的方程；

（2）利用，确定坐标之间的关系，由直线与的斜率的乘积为，可得，即，结合A，B在椭圆上，即可求动点P的轨迹方程.

（1）设椭圆方程为（），由，解得.

∴椭圆方程为.

①设直线为：，，，

代入椭圆方程得：.

，，，，

即

，即.

∵直线与以原点为圆心的圆相切，∴圆的半径，则.

∴圆的方程为；

②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足上述方程.

综上，所求圆的方程为：.

（2）设，又，，由：，得，

又直线与的斜率的乘积为，，即.

∵A，B在椭圆上，，.

联立，消去，，，，得.

当斜率不存在时，即，得，，.

此时.同理斜率不存在时，.

∴动点P的轨迹方程为（）