Question

等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，令b_n=a_na_n+1，数列{

1

bn

}的前n项和为T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）求证：Tn＜

1

3

Answer 1

分析：（1）∵等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，故不难构造关于首项和公差的方程组，解方程组求出基本项（首项与公差）不难得到数列的通项公式，
（2）由（1）的结论，及b_n=a_na_n+1，可以给数列{

1

bn

}的通项公式及前n项和为T_n的表达式，再利用不等式的方法易证．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12
∴

a1+2d=7 3a1+3d=12

解得

a1=1 d=3

∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=3n-2（n∈N^*）
（2）∵b_n=a_na_n-1，
∴b_n=（3n-2）（3n+1）
∴

1

bn

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)
∴数列{

1

bn

}的前n项和
Tn=

1

3

[1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+

1

7

-

1

11

++

1

3n-5

-

1

3n-2

+

1

3n-2

-

1

3n+1

]
=

1

3

(1-

1

3n+1

)
＜

1

3

点评：方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用．如果数列的通项公式为

1

f(n)•f(n+1)

的形式时，常使用拆项法将数列的一项

1

f(n)•f(n+1)

分解为K[

1

f(n)

-

1

f(n+1)

]的形式，利用相邻项之间的正负项可以抵消来简化数列的前n项和表达式．