Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2

A+B

2

=

3

2

sinC．
（I）求角C的大小．
（Ⅱ）若a+b=5，c=

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）把已知条件的左边利用二倍角的余弦函数公式及诱导公式化简后移项，然后利用两角差的正弦韩函数公式及特殊角的三角函数值把已知化为一个角的正弦函数，根据C的范围和特殊角的三角函数值即可求出角C的大小；
（Ⅱ）利用第1问求出的角C分别求出sinC和cosC的值，然后利用余弦定理表示出一个关系式，配方后把a+b，c和cosC的值代入即可求出ab的值，然后根据三角形的面积公式，把ab的值和sinC的值代入即可求出面积．

解答：解：（I）由sin2

A+B

2

=

3

2

sinC化简得：

1-cos(A+B)

2

=

3

2

sinC，
得

1-cos(π-C)

2

=

3

2

sinC，
得

1+cosC

2

=

3

2

sinC，即sin（C-

π

6

）=

1

2

，
因为0＜C＜π，所以-

π

6

＜C-

π

6

＜

5π

6

，所以C-

π

6

=

π

6

，解得C=

π

3

；
（Ⅱ）由cosC=cos

π

3

=

1

2

，sinC=sin

π

3

=

3

2

，
根据余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
把c=

7

，a+b=5代入得：7=25-3ab，所以ab=6，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

点评：此题考查学生利用运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用余弦定理以及三角形的面积公式化简求值，是一道综合题．