Question

如图所示，程序框图给出了无穷正项数列{a_n}满足的条件，且当k=5时，输出的S是；当k=10时，输出的S是.

(1)试求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)试求当k=10时，输出的T的值.(写出必要的解题步骤)

Answer 1

解:(1)观察框图可知，数列{a_n}为等差数列，设其公差为d，

又可知，S=++…+,

由=()得S=(++…+)

=()=.

由题意可知，k=5时，S=;k=10时,S=,

∴,解得或(舍去).

∴a_n=a₁+(n-1)d=2n-1.

(2)由框图和(1)可得当k=10时，T=1·2¹+3·2²+…+19·2¹⁰,

∴2T=1·2²+3·2³+…+17·2¹⁰+19·2¹¹,

两式相减,可得-T=1·2¹+2·2²+2·2³+…+2·2¹⁰-19·2¹¹

=2¹+2³+2⁴+…+2¹¹-19·2¹¹

=-19·2¹¹-2=2²(2¹⁰-1)-19·2¹¹-2.

∴T=17·2¹¹+6=34 822.