Question

如图，已知抛物线y=4-x²与直线y=3x的两个交点分别为A、B，点P在抛物线上从A向B运动（点P不同于点A、B），
（Ⅰ）求由抛物线y=4-x²与直线y=3x所围成的图形面积；
（Ⅱ）求使△PAB的面积为最大时P点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立方程

y=4-x2 y=3x

可求A（1，3），B（-4，-12），所求图形的面积为s=

∫

1 -4

[(4-x2)-3x]dx，利用积分可求
（Ⅱ）设点P的坐标为（a，b）由（Ⅰ）可得A，B，要使△PAB的面积最大即使点P到直线3x-y=0的距离最大，故过点P的切线与直线3x-y=0平行，从而可求

解答：解（Ⅰ）由

y=4-x2 y=3x

解得

x=-4 y=-12

或

x=1 y=3

即A（1，3），B（-4，-12）
因此所求图形的面积为s=

∫

1 -4

[(4-x2)-3x]dx=(4x-

1

3

x3-

3

2

x2)

|

1 -4

=

125

6

（Ⅱ）设点P的坐标为（a，b）由（Ⅰ）得A（1，3），B（-4，-12）
要使△PAB的面积最大即使点P到直线3x-y=0的距离最大  故过点P的切线与直线3x-y=0平行
又过点P的切线得斜率为k=y'=-2x|_x=a=-2a∴-2a=3即a=-

3

2

，b=

7

4

∴P点的坐标为(-

3

2

，

7

4

)时，△PAB的面积最大．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用．利用定积分求解图象的面积的最值，属于基础试题