Question

过椭圆C：的一个焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆于点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左、右顶点A、B，左、右焦点分别为F₁，F₂，P为以F₁F₂为直径的圆上异于F₁，F₂的动点，问是否为定值，若是求出定值，不是说明理由？
（3）是否存在过点Q（-2，0）的直线l与椭圆C交于两点M、N，使得（其中D为弦MN的中点）？若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题设知c=1，①，又a²=b²+c²，即a²=b²+1②，
联立①②解得a²=2，b²=1，
所以椭圆C的方程为；
（2）由（1）知，A（-，0），B（，0），F₁（-1，0），F₂（1，0），
设P（x₀，y₀）（x₀≠±1），则=（x₀+1，y₀），=（x₀-1，y₀），
因为P为以F₁F₂为直径的圆上的动点，所以⊥，即•=0，
所以（x₀+1）（x₀-1）+y₀²=-1=0，即=1，
所以=（，y₀）•（，y₀）═（）•（）+y₀²=-2=1-2=-1．
故是定值，为-1．
（3）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y=k（x+2），
由得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，则△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，即③，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，，
由D为弦MN的中点，且，得FM⊥FN，即，
所以（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）•（x₂+1）+y₁y₂=x₁x₂+x₁+x₂+1+k²（x₁+1）（x₂+1）=0，即（k²+1）x₁x₂+（2k²+1）（x₁+x₂）+4k²+1=0，
所以（k²+1）•+（2k²+1）•+4k²+1=0，
解得，不满足③式，
故不存在这样的直线l．
分析：（1）由题设知c=1，，又a²=b²+c²，联立方程组解出即可；
（2）设P（x₀，y₀）（x₀≠±1），P为以F₁F₂为直径的圆上的动点，所以⊥，即•=0，利用向量数量积运算可得=1，由此可算出的值；
（3）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为y=k（x+2），由得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，则△＞0③，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由D为弦MN的中点，且，得M⊥FN，即，根据向量数量积运算及韦达定理可表示为k的方程，解出k值，验证是否满足③式即可；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面向量数量积的运算及椭圆方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，综合性强，能力要求较高．