Question

已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知是这个几何体的棱上的中点。

（Ⅰ）求出该几何体的体积；

（Ⅱ）求证：直线；

 (Ⅲ)求证:平面.

     图1                                      图2

Answer 1

 解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高，  ……2分

（Ⅰ）底面是高为的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积，

所求体积.   ………………4分

（Ⅱ）连接，且，正三棱柱侧面是矩形，

 ∴点是棱的中点  ……6分

因为D为棱的中点.连接，是的中位线，

又，，.……………9分

(Ⅲ) 在正三棱柱，

又由正三棱柱性质知且

平面，                       …………12分

.       …………………14分