Question

(1)证明

(2)若x、y、z∈(0,1),求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1.

Answer 1

解析:(1)由于待定的不等式可整理为关于变量x的二次方程的形式,可用判别式证明.?

(2)由于待定的不等式关于x最高次数为一次,可整理成关于x的一次函数,由一次函数的单调性进行证明.

证明:(1)设则(y-1)x²+(3y+3)x+4y-4=0.

①当y-1≠0时,则x∈R,Δ≥0,?

即(3y+3)²-4(y-1)(4y-4)≥0.?

解得≤y≤7(y≠1).?

②当y-1=0时,x=0∈R.?

综上,≤y≤7.∴

(2)构造函数:?

f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)-1=(1-y-z)x+y(1-z)+z-1(0＜x＜1),

①当1-y-z=0,即y+z=1时,f(x)=y(1-z)+z-1=y+z-yz-1=-yz＜0;?

②当1-y-z≠0时,f(x)为一次函数,由一次函数的单调性,只要证明f(0)＜0,f(1)＜0,?

∵f(0)=y-yz+z-1=(y-1)(1-z)＜0,f(1)=-yz＜0,

∴对任意x∈(0,1)都有f(x)＜0,?

即x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1.