Question

（2006•崇文区二模）已知函数f（x）=

x-1

(x-1)2+1

+

3

2

，x∈R．
（Ⅰ）证明：若x≠2，则有|f（x）-f（2）|＜|x-2|；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足f（a_n）=2a_n+1-a_n，并且a₁=1，证明1≤a_n≤3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用分析法，欲证：|f（x）-f（2）|＜|x-2|，需证明|

x-1

(x-1)2+1

+

3

2

-

1

2

|＜|x-2|，需证…，只需证明0＜（x-1）²+

1

2

|x-1|²+

1

2

，而该式成立，从而使原结论成立；
（Ⅱ）由上式|f（x）-f（2）|＜|x-2|有|2a_n+1-a_n-2|＜|a_n-2|，进一步推出|a_n-2|＜|a_n-1-2|＜…＜|a₁-2|≤1，从而可证1≤a_n≤3．

解答：证明：（Ⅰ）欲证：|f（x）-f（2）|＜|x-2|，
只需证明|

x-1

(x-1)2+1

+

3

2

-

1

2

|＜|x-2|，
只需证明|

(x-2)2

2[(x-1)2+1]

|＜|x-2|，
只需证明|

(x-2)

2[(x-1)2+1]

|＜1，
只需证明|x-2|＜2[（x-1）²+1]，
只需证明|x-2|＜[（x-1）²+1]+[（x-1）²+1]，
只需证明|x-1|+1＜[（x-1）²]+|x-1|+

1

2

|x-1|²+

1

2

，
只需证明0＜（x-1）²+

1

2

|x-1|²+

1

2

，
而0＜（x-1）²+

1

2

|x-1|²+

1

2

是恒成立的，
所以|f（x）-f（2）|＜|x-2|．--------------------------------8
（Ⅱ）由上式|f（x）-f（2）|＜|x-2|有|2a_n+1-a_n-2|＜|a_n-2|，
所以|2a_n+1-4-a_n+2|＜|a_n-2|．
有|2a_n+1-4|-|a_n-2|＜|a_n-2|．
而|a_n+1-2|＜|a_n-2|．
即|a_n-2|＜|a_n-1-2|＜…＜|a₁-2|≤1．
∴1≤a_n≤3．-----------------------------14

点评：本题着重考查分析法与综合法证明不等式，考查推理与分析、运算能力，属于难题．