Question

【题目】已知函数，无穷数列满足 ,

（Ⅰ）若 ，求， ， ；

（Ⅱ）若 ，且， ， 成等比数列，求的值；

（Ⅲ）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.(Ⅲ)当且仅当 时， ，构成等差数列.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）根据递推关系求解即可．（Ⅱ）由条件得， ，分类讨论去掉绝对值，并根据， ， 成等比数列可求得的值．(Ⅲ)由条件得，假设存在满足条件，则，即，经分类讨论去掉绝对值可得当且仅当 时， ，构成等差数列．

试题解析：

（Ⅰ） ．

（Ⅱ）由题意得

．

当 时， ，

∵， ， 成等比数列，

∴ ，

解得 ．

当 时， ，

∵， ， 成等比数列

∴，

解得 (舍去)．

综上可得 或．

（Ⅲ）假设这样的等差数列存在，那么 ．

由 得 ．

以下分情况讨论:

①当 时，由得 ，与 矛盾;

②当 时，由得 ，①

从而 ，所以 是一个等差数列;

③当 时，则公差 ，

因此存在 使得 ．

此时，与矛盾．

综合①②③可知，当且仅当 时， 构成等差数列．