Question

按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．

Answer 1

分析：（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个小球都有4种可能，利用乘法原理可得结论；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法，再放入4个不同的盒子，即可得到结论；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，利用插空法；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法，再放入3个不同的盒子，即可得到不同的放法．

解答：解：（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个小球都有4种可能，利用乘法原理可得不同的方法有4⁶=4096；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个不同的盒子，故不同的方法共有（

C 2 6 C 2 4 C 1 2 C 1 1

A 2 2 A 2 2

+

C

3 6

）

A

4 4

=1560
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，不同的方法共有

C

3 5

=10
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：3、2、1；2、2、2；4、1、1，再放入3个不同的盒子，故不同的方法共有（

C

3 6

C

2 3

C

1 1

+

C 2 6 C 2 4 C 2 2

A 3 3

+

C

4 6

）

A

3 4

=2160

点评：本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．