Question

设，是否存在g（n），使等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1
对n≥2的一切自然数都成立，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：先将f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）用f（n）表示，然后代入f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1，即可求出g（n）的解析式．
解答：解：由于f（1）=1，f（2）=1+，f（3）=1++，…，f（n）=1+++…+，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n-1）
=（n-1）×1+（n-2）×+（n-3）×+…+[n-（n-2）]×+[n-（n-1）]× 
=n[1+++…+]-（n-1），
而g（n）f（n）-1=g（n）（1+++…+）-1
故由等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）f（n）-1，
可得 n[1+++…+]-（n-1）=g（n）（1+++…+）-1，
解得g（n）===n+．
故存在g（n）满足条件，且通项公式为 g（n）=n+．
点评：本题主要考查数列的求和，以及存在性问题，同时考查了计算能力和转化能力，属于中档题．