Question

在直平行六面体AC₁中，ABCD是菱形，∠DAB=60°，AC∩BD=O，AB=AA₁．
（1）求证：C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）求证：平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）求直线AC与平面AB₁D₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C₁交B₁D₁于O₁，连接AO₁；可以推得四边形AOC₁O₁为平行四边形；进而得到C₁O∥AO₁，再结合线面平行的判定即可证明结论．
（2）先根据直平行六面体AC₁中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁，得到A₁A⊥B₁D₁；再结合四边形A₁B₁C₁D₁为菱形，得到B₁D₁⊥A₁C₁；即可得到平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁；
（3）过C作CH⊥AO₁交AO₁于H，可得CH⊥平面AB₁D₁；进而得∠CAH是AC与平面AB₁D₁所成的角；然后通过求三角形的边长即可求出结论．

解答：证明：（1）连接A₁C₁交B₁D₁于O₁，连接AO₁．
在平行四边形AA₁C₁C中，C₁O₁∥AO，C₁O₁=AO，
∴四边形AOC₁O₁为平行四边形．
∴C₁O∥AO₁．（3分）
∵C₁O?平面AB₁D₁，AO₁?平面AB₁D₁，（4分）
∴C₁O∥平面AB₁D₁．（5分）
（2）在直平行六面体AC₁中，A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁A⊥B₁D₁．
∵四边形A₁B₁C₁D₁为菱形，
∴B₁D₁⊥A₁C₁．（7分）
∵A₁C₁∩AA₁=A₁，A₁C₁?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，（9分）
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁．
∵B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁．（10分）
（3）过C作CH⊥AO₁交AO₁于H．
∵平面AB₁D₁⊥平面ACC₁A₁，平面AB₁D₁∩平面ACC₁A₁=AO₁，
∴CH⊥平面AB₁D₁．
∴AH为AC在平面AB₁D₁上的射影．
∴∠CAH是AC与平面AB₁D₁所成的角．（11分）
设AB=2，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴AC=2

3

．（12分）
在Rt△AA₁O₁中，AO1=

7

．
∵AO₁•CH=AC•OO₁，
∴CH=

4 21

7

．∴sinCAH=

CH

AC

=

2 7

7

．（14分）

点评：本题主要考察线面平行以及面面垂直的证明，线面角的求法．一般在证明面面垂直时，先证明线线垂直，得到线面垂直，进而得到面面垂直．