题目内容

已知平面向量 $数学公式$ =（ $数学公式$ ， $数学公式$ ）， $数学公式$ =（ $数学公式$ ， $数学公式$ ）．
（1）证明： $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ；
（2）若存在不同时为零的实数k和t，使 $数学公式$ = $数学公式$ +（t²-k） $数学公式$ ， $数学公式$ =-s $数学公式$ +t $数学公式$ ，且 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，试求s=f（t）的函数关系式；
（3）若s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，试求k的取值范围．

（本小题满分12分）
解：（1）证明：由题知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（4分）
（2）由于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
从而-s| $\text{[math]}$ |²+（t+sk-st²） $\text{[math]}$ +t（t²-k）| $\text{[math]}$ |²=0，
故s=f（t）=t³-kt．（8分）
（3）设t₁＞t₂≥1，
则 $\text{[math]}$ -kt₂）
=（t₁-t₂）（ $\text{[math]}$ ），
∵s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴ $\text{[math]}$ ，
即k＜ $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上恒成立，
∵ $\text{[math]}$ ＞3，
∴只需k≤3即可．（12分）
分析：（1）由题知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，能够证明 $\text{[math]}$ ．
（2）由于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，从而-s| $\text{[math]}$ |²+（t+sk-st²） $\text{[math]}$ +t（t²-k）| $\text{[math]}$ |²=0，由此能够求出s=f（t）=t³-kt．
（3）设t₁＞t₂≥1，则 $\text{[math]}$ -kt₂）=（t₁-t₂）（ $\text{[math]}$ ），由s=f（t）在[1，+∞）上是增函数，知k＜ $\text{[math]}$ 在[1，+∞）上恒成立，由此能求出k的范围．
点评：本题考查向量垂直的证明，考查函数解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．