Question

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线f(x)=1-

4

3

x2的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M，N，交曲线于点P，则△OMN（O为坐标原点）的面积的最小值为

2

3

．

Answer 1

分析：求导函数，设出P的坐标，确定过点P的切线方程，进而可得M，N的坐标，表示出三角形的面积，利用导数法，即可确定△OMN（O为坐标原点）的面积的最小值．

解答：解：求导函数，可得f′(x)=-

8

3

x
设P（m，1-

4

3

m2）（m＞0），则过点P的切线方程为y-（1-

4

3

m2）=-

8

3

m×（x-m）
令y=0，则x=

m

2

+

3

8m

，令x=0，则y=1+

4

3

m2
∴△OMN（O为坐标原点）的面积为S=

3(1+ 4 3 m2)2

16m

=

3

16

(

1

m

+

8

3

m+

16

9

m3)
求导函数可得S′=

3

16

(-

1

m2

+

8

3

+

16

3

m2)
令S′=0，可得16m⁴+8m²-3=0
∴m=

1

2

∴m＞

1

2

时，函数单调增，0＜m＜

1

2

时，函数单调减
∴m=

1

2

时，函数取得极小值且为最小值，最小值为

2

3

故答案为：

2

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是确定切线方程，求出三角形的面积，利用导数法求最值，属于中档题．