Question

（本小题满分14分）已知函数，.

(Ⅰ)若，求函数的极值；

(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；

(Ⅲ)若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 的极小值为 (Ⅱ) 在上递减，在上递增

(Ⅲ)

【解析】

试题分析：(Ⅰ)，

∴在上递减，在上递增，

∴的极小值为.                                                     ……4分

(Ⅱ)， ∴，

①当时，，∴在上递增               

②当时，，

∴在上递减，在上递增.                                   ……8分

(Ⅲ)先解区间上存在一点，使得成立

在上有解当时，，

由(Ⅱ)知

①当时，在上递增，∴， ∴，    ……10分

②当时，在上递减，在上递增，

（ⅰ）当时， 在上递增 ∴，∴无解，

（ⅱ）当时， 在上递减，

∴ ， ∴；

（ⅲ）当时， 在上递减，在上递增，

∴，

令，则，

∴在递减， ∴，∴无解，

即无解                      

综上可得：存在一点，使得成立，实数的取值范围为：或.

所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为.         ……14分

考点：本小题主要考查利用导数研究函数的最值、极值和单调区间以及利用单调性求参数的取值范围，考查学生分类讨论思想的应用和转化问题的能力以及运算求解能力.

点评：导数是研究函数性质的重要工具，研究函数的极值、最值及单调区间时常常用到导数，而求参数的取值范围时，常常需要转化为求最值然后利用导数解决.