Question

有一系列函数，如果它们解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这一系列函数为“同族函数”．那么函数的解析式为y=x²，值域为{1，2}的同族函数有

9

个；若n∈N^*，集合A_n={1，2，…，n}是解析式为y=x²的函数的值域，设a_n表示该函数的同族函数的个数，则a₁+a₂+…+a_n=

3(3n-1)

2

．

Answer 1

分析：若函数的解析式为y=x²，值域为{1，2}时，首先分析出其定义域中可能有的元素为±1和±

2

，进而对1或-1、

2

或-

2

分别分析可得其可能的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；当集合A_n={1，2，…，n}是解析式为y=x²的函数的值域时，其定义域中可能有的元素有±1、±

2

、±

3

、±2、…±

n

，且每对相反数至少有一个，进而对每对相反数依次分析可得其可能的情况数目，由分步计数原理计算可得a_n的值，即可得{a_n}为等比数列，再用等比数列前n和公式求出a₁+a₂+…+a_n的值．

解答：解：根据题意，若函数的解析式为y=x²，值域为{1，2}；则可能在其定义域中的元素有±1和±

2

，且每对相反数至少有一个，
对于元素1或-1，两个中任取一个或全部都取，有3种情况；
对于元素

2

或-

2

，两个中任取一个或全部都取，有3种情况；
则当函数y=x²，值域为{1，2}时的同族函数有3×3=9个；
若n∈N^*，集合A_n={1，2，…，n}是解析式为y=x²的函数的值域，
则其定义域中可能有的元素有±1、±

2

、±

3

、±2、…±

n

，且每组至少有一个，
对于元素1或-1，两个中任取一个或全部都取，有3种情况；
对于元素

2

或-

2

，两个中任取一个或全部都取，有3种情况；
…
对于元素

n

或-

n

，两个中任取一个或全部都取，有3种情况；
则a_n=3×3×…×3=3ⁿ，
故a₁+a₂+…+a_n=

3(1-3n)

1-3

=

3(3n-1)

2

；
故答案为9，

3(3n-1)

2

．

点评：本题考查函数的定义、数列的求和以及分步计数原理的运用，解题的难点在于利用分步计数原理分析出a_n=3ⁿ，进而由等比数列前n和公式求出答案．