题目内容

已知椭圆M： $数学公式$ （a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．

解：（Ⅰ）由题意，可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，…（1分）
又椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，…（2分）
所以a=3， $\text{[math]}$ ，
所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以椭圆M的方程为 $\text{[math]}$ ．…（4分）
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ 消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0．…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以 $\text{[math]}$ ．…（7分）
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（8分）
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 $\text{[math]}$ ，…（10分）
将 ①代入上式得 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，或m=3．…（12分）
分析：（Ⅰ）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4 $\text{[math]}$ ，椭圆的离心率，建立方程，利用b²=a²-c²，可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），可得 $\text{[math]}$ ，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值．
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．