Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M为AA₁的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC₁的交点为N，
求：（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（Ⅱ）PC和NC的长；
（Ⅲ）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。

Answer 1

解：（Ⅰ）正三棱柱的侧面展开图 是一个长为9，宽为4的矩形， 其对角线长为；
（Ⅱ）如图1，将侧面绕棱CC1旋转120° 使其与侧成在同一平面上， 点P运动到点P1的位置，连接MP1， 则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线， 设PC=x，则， 在中， 由勾股定理得，求得x=2， ∴， ， ∴。	图1
（Ⅲ）如图2，连结PP1， 则PP1就是平面NMP与平面ABC的交线，作于H， 又CC1⊥平面ABC，连结CH， 由三垂线定理得，， ∴∠NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角（锐角）， 在中， ， ∴， 在中，， 故平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小为。	图2