Question

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，且a₁=1，na_n+1=（n+2）s_n （n∈N^*）．
（1）求证：数列{

sn

n

}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式及前n项和s_n；
（3）若数列{b_n}满足：b₁=

1

2

，

bn+1

n+1

=

bn+sn

n

 （n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）通过将a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n；即可推出数列{

sn

n

}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）利用（1）的结论求出数列{a_n}的通项公式及前n项和s_n；
（3）若数列{b_n}满足：b₁=

1

2

，

bn+1

n+1

=

bn+sn

n

 （n∈N^*），推出得

bn+1

n+1

=

bn

n

+2^n-1，利用累加法直接求解数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）证明：将a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n；
整理得

sn+1

n+1

=2•

sn

n

 （n∈N^•）．
又由已知

s1

1

=1，
所以数列{

sn

n

}是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）由（1）的结论可得

sn

n

=2^n-1，∴Sn=n•2^n-1
当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=n•2^n-1-（n-1）•2^n-2=（n+1）•2^n-2
由已知，a₁=1，又当n=1时，（n+1）•2^n-2=1，
∴a_n=（n+1）•2^n-1（n∈N^*）．
（3）由

bn+1

n+1

=

bn+sn

n

（n∈N^*）．
得

bn+1

n+1

=

bn

n

+2^n-1，
由此式可得

bn

n

=

bn-1

n-1

+2n-2，

bn-1

n-1

=

bn-2

n-2

+2n-3，
…

b3

3

=

b2

2

+21，

b2

2

=

b1

1

+20
把以上各等式相加得，

bn

n

=b1+2+22+…+2n-2=2n-1-

1

2

（n∈N^*，n≥2）．
所以b_n=n2n-1-

1

2

n（n∈N^*，n≥2）．
当n=1时也符合，所以b_n=n2n-1-

1

2

n．

点评：本题是中档题，考查数列的判断，通项公式的求法，前n项和的求法累加法的应用，考查计算能力．