题目内容
【题目】如图，在三棱锥P—ABC中，△PAC为等腰直角三角形，
为正三角形，D为A的中点，AC=2．
(1)证明：PB⊥AC；
(2)若三棱锥
的体积为
，求二面角A—PC—B的余弦值
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）由题意证得
，
，从而有
平面
，则
；
（2）设三棱锥
的高为
，
，根据体积公式求得
，从而
平面
，以
为坐标原点，建立空间直角坐标系
，求出平面
的一个法向量，又
是平面
的一个法向量，根据公式可得二面角
的余弦值为．
（1）证：
为等腰直角三角形，为中点，
，
又
为正三角形，为中点，
，
又
，
平面，
平面PBD，又
平面，
（2）解：设三棱锥的高为，
，
，
，又
平面ABC，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
设
为平面的一个法向量，则
，即
，
令
，得
，
，
又是平面的一个法向量，∴
，
由图可知二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为．
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