Question

直线y=-x+4与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A、B，如果弦|AB|的长度为4

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．
（1）求P的值；
（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．

Answer 1

分析：（1）联立直线与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程后利用弦长公式列式求p的值；
（2）直接利用OA和OB所对应的向量的数量积的坐标运算证明．

解答：（1）解：直线AB的方程为y=-x+4，联立

y=-x+4 y2=2px

，得x²-2（p+4）x+16=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16．
由|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2(x1-x2)2

=

2

(x1+x2)2-4x1x2

∴

2

4(p+4)2-4×16

=4

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，解得p=2，满足△=4（p+4）²-64＞0；
（2）证明：x₁+x₂=2（p+4）=12，x₁x₂=16，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-x₁+4）（-x₂+4）
=2x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=2×16-4×12+16=0．
所以OA⊥OB．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了弦长公式的应用，考查了平面向量的数量积判断垂直关系，是中档题．