Question

已知a∈R，函数f(x)＝4x3－2ax＋a.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：当0≤x≤1时，f(x)＋|2－a|＞0.

 

Answer 1

(1) 函数f(x)的单调递增区间为和，

单调递减区间为.

(2)见解析

【解析】(1)由题意得f′(x)＝12x2－2a.

当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．

当a＞0时，f′(x)＝12，

此时函数f(x)的单调递增区间为和，

单调递减区间为.

(2)证明：由于0≤x≤1，故当a≤2时，f(x)＋|a－2|＝4x3－2ax＋2≥4x3－4x＋2.

当a＞2时，f(x)＋|a－2|＝4x3＋2a(1－x)－2≥4x3＋4(1－x)－2＝4x3－4x＋2.

设g(x)＝2x3－2x＋1,0≤x≤1，则

g′(x)＝6x2－2＝6.

于是

x	0				1
g′(x)		－	0	＋
g(x)	1	减	极小值	增	1

所以g(x)min＝g＝1－＞0.

所以当0≤x≤1时，2x3－2x＋1＞0.

故f(x)＋|a－2|≥4x3－4x＋2＞0.