Question

【题目】已知椭圆的焦距为2，离心率为，轴上一点的坐标为．

（Ⅰ）求该椭圆的方程；

（Ⅱ）若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且,求

实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知易得，；（Ⅱ）由已知当椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称时，取弦中点，由中点弦问题可知，又，可得，由在椭圆内，故，即，又联立，得，，得，所以的取值范围为.

试题解析：（Ⅰ）由题意知：，，所以，．

所以所求的椭圆的方程为．

（Ⅱ）由题意设，，直线方程为：．

联立消整理可得：，

由，解得

，，

设直线之中点为，则，

由点在直线上得：，

又点在直线上，，所以……①

又，，

∴

解得：……②

综合①②，的取值范围为．

（法二：请酌情给分）

由题意设，，直线的中点为，

则，

将，两点分别代入椭圆方程，

并联立，两式相减得：，

即，

又，所以，，

所以，的中点的轨迹方程为：，

由得：，即，

又∵在椭圆内，∴，即，

即，①

另一方面：易知：直线的方程；

联立，消去并整理得：，

∴，，

又，，

∴

解得：，②

综合①②：的取值范围为